倍数に関する問題

例題1 1から200までの数字のうち、つぎの条件を満たす数はいくつあるか。

(1)3の倍数

数字が1から始まっている場合、倍数の個数はその数字を割った商を求めればOKです。
200=66+
よって、66個あります。

(2)3または5の倍数

これは格言2の例外です
例外のポイントは、「3かつ5の倍数が0でない」ことです。
つまり、格言2が運用されるときは、「AかつB」が無い(空事象である)ときに限ります。
3かつ5の倍数とは、15の倍数のことで、それは13個あります。
また、5の倍数は40個あります。
3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとし、それぞれの個数をn(A),n(B)とすると、次の公式が成り立ちます。

格言2例外の公式 n(AまたはB)=n(A)+n(B)−n(AかつB)

これに当てはめれば、3または5の倍数の個数は、66+40−13=93個となります。
この公式を見ていただければ分かるとおり、
本来なら格言2は、たまたまn(AかつB)=0となるときであることも気づけると思います。

(3)2または3または5の倍数であるもの

この問題はkidさんの質問を参考にしました。
以下、集合の記号を使って、AまたはBをA∪B、AかつBをA∩Bとします。
Aの個数をn(A)とすると、3つの集合A,B,Cに対して、次のことが成り立ちます。
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C)

Aを2の倍数、Bを3の倍数、Cを5の倍数とすると、
n(A)=100,n(B)=66,n(C)=40 です。
A∩Bは6の倍数だから33個、B∩Cは15の倍数だから13個、C∩Aは10の倍数だから20個
A∩B∩Cは30の倍数だから6個あります。以上を公式に代入すると、
n(A∪B∪C)=100+66+40−33−13−20+6=146個あります。

(4)30と互いに素であるもの

整数Aと整数Bが「互いに素(そ)」であるとは、AとBの最大公約数が1である状態です。
30=2×3×5ですから、30と互いに素の整数は、
「2の倍数でも3の倍数でも、5の倍数でもない」整数を指すことになります。
これの逆(余事象?)は「2または3または5の倍数」なので、
(3)の結果より 200−146=54 となります。

例題2 1〜6の数字を1つずつ書いたカードが1枚ずつ、計6枚あり、この中から3つ選ぶ。
(1)3枚の数字の積が奇数となる確率を求めよ。

目の積が奇数となるためには奇×奇×奇でないといけません。
つまり、1,3,5のカードを選ぶことになるので、求める確率は
33
6320

(2)3枚の数字の積が偶数となる確率を求めよ。

これは少なくとも1つが偶数となればよいわけですから(格言1)、
反対(余事象)を全体(確率1)から引けばよいので、求める確率は
1−19
2020

(3)3枚の数字の積が3の倍数となる確率を求めよ。

余事象は「目の積が3の倍数でない」=「1,2,4,5のどれか」ですから、求める確率は
1−43=1−
20

(4)3枚の数字の積が6の倍数となる確率を求めよ。

例えば2、3、5と選んでも6の倍数となってしまいます。
このことを参考に余事象を列挙すると、
(1,2,4)(1,2,5)(1,3,5)(1,4,5)(2,4,5)の5通り。
よって、1−
20

ezellさんからの質問
3の倍数(2枚)から1個、偶数(3枚)から1個選べばもうひとつは何でも良いと考えて
21×31×41ではダメなのですか?

単純に式だけ見てても、「3の倍数で6を選んだらどうするの?」と思ってしまいます。
さらに、この疑問をクリアーして、(3121)×41
と直した場合であっても、(確率が1だからおかしいことに気づくわけですが)
「3,2,4を取る」と「3,4,2を取る」など、2度数えてしまっている事象があるため、
残念ながらこの考え方では不正解となるわけです。

例題3 さいころを3つ振る。
(1)3つの目の積が奇数となる確率を求めよ。

3回とも奇数の目が出ればよいわけですから、求める確率は、
3

(2)3つの目の積が偶数となる確率を求めよ。

余事象は(1)ですから、求める確率は、
1−

(3)3つの目の積が3の倍数となる確率を求めよ。

余事象は「目の積が3の倍数でない」=「全部1,2,4,5のどれか」ですから、求める確率は
1−3=1−19
2727

(4)3つの目の積が3の倍数で、かつ奇数となる確率を求めよ。

条件を書き換えると、「全ての目が奇数で、かつ、少なくとも1つは3の目が出る」です。
まず、全部奇数となるのは、(1)のとおり です。
ここで、部分的な余事象「奇数で3の倍数にならないもの」を考えると、
「3つとも1または5」になります。
この確率は3なので、求める確率は
27
19
27216

(5)3つの目の積が6の倍数となる確率を求めよ。

直接考えようとすると、2×3×6や2×5×3などと、膨大な場合分けが必要です。
そこで、(4)を利用します。
まず、3の倍数に絞ります。少なくとも1つが3の倍数である確率は(3)より、19
27
この中でさらに少なくとも1個が偶数のものが問題の条件を満たします。
3の倍数のもののうち、条件を満たさないものは「3つの目の積が3の倍数で、かつ奇数となる」事象ですから、
その確率は(4)より19
216
よって、求める確率は
1919133
27216216

以下の2題はちひろんより提供していただきました。

例題4 3つのさいころを投げて、その目の和が3の倍数になる確率を求めよ。

1つのさいころを固定するのがポイントです。目の和の表を利用しましょう。

さいころの目の和の表
(1)1つ目のさいころが1または4のとき、残りの目の和は2,5,8,11のいずれかだから、
求める場合の数は(1+4+5+2)×2=24通り (×2は、「1または4」の2通り)
(2) 1つ目のさいころが2または5のとき、残りの目の和は4,7,10のいずれかだから、
求める場合の数は(3+6+3)×2=24通り
(3) 1つ目のさいころが3または6のとき、残りの目の和は3,6,9,12のいずれかだから、
求める場合の数は(2+5+4+1)×2=24通り
以上より、求める確率は(24×3)/63=1/3です。(63が分からない方はこちら)
場合分けをするのは完成図が異なるという格言3にもとづくものです。

さらに、もれなく、重複無く数えることの大切さ(難しさ?)を、次の問題で考えてみます。

例題5 3つのさいころを投げて、その目の和または積が3の倍数になる確率を求めよ。

この問題で気をつけなければならないのは「または」であることです。
単純に3の倍数になる場合を加えるだけでは重複が発生します。そのことを踏まえたうえで解きましょう。
積が3の倍数のものは、例題3(3)より、19
27
この先は「3の倍数を使わずに和が3の倍数になる」場合を直接数えた方が早そうです。
事象が排反ではないため、3の倍数を使った場合、自動的に「積が3の倍数」であることに含まれてくるからです。
そうなる場合を列挙していくと、(カッコ内はその場合の数)
[1,1,1](1)、[1,1,4](3)、[1,4,4](3)、[4,4,4](1)
[2,2,2](1)、[2,2,5](3)、[2,5,5](3)、[5,5,5](1)
よって、この確率は16/63=2/27です。
これに積が3の倍数であることを加えて、求める確率は21/27=7/9となります。

n≧3とする。1からnまでの整数が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ計n枚ある。
この中から同時に3枚取り出すとき、取り出された3枚のカードに書かれた3整数の積が6の倍数である確率を求めよ。

この問題はpotiさんよりいただきました。ありがとうございます。
この問題を解くにあたってはガウス関数というものを利用すると簡単になります。

1〜nのn枚の中には、
6の倍数…[n/6]枚
3の倍数…[n/3]枚
2の倍数…[n/2]枚が存在する。
例えば、[n/2]はn/2を超えない最大の整数です。

このことから、
(A)6の倍数でない3の倍数は、[n/3]−[n/6]=s枚
(B)6の倍数でない2の倍数は、[n/2]−[n/6]=t枚
(C)2でも3でも割り切れないものは、

n−([n/3]−[n/6])−([n/2]−[n/6])−[n/6]
=n−[n/3]−[n/2]+[n/6]=u枚

余事象は、「積が6の倍数でない」だから、取り出し方は
(CCC)、(CCA)、(CCB)、(CAA)、(CBB)、(AAA)、(BBB)
の7通りがあり、これらはどの2つも互いに排反です。

(CCC)のとき、u3=u(u-1)(u-2)/6=(u3−3u2+2u)/6
(CCA)のとき、u2×s=3su(u-1)/6=(3su2−3su)/6
(CCB)のとき、u2×t=3tu(u-1)/6=(3tu2−3tu)/6
(CAA)のとき、u×s2=3su(s-1)/6=(3s2u−3su)/6
(AAA)のとき、s3=s(s-1)(s-2)/6=(s3−3s2+2s)/6
(CBB)のとき、u×t2=3tu(t-1)/6=(3t2u−3tu)/6
(BBB)のとき、t3=t(t-1)(t-2)/6=(t3−3t2+2t)/6

分母の6を一旦無視して計算を続けると、
s3+t3+u3+3s2u+3su2+3t2u+3tu2−3s2−3t2−3u2−6su−6tu+2s+2t+2u
=(s+t+u)3−3t2s−3ts2−6stu−3(s+t+u)2+6st+2(s+t+u)
=(s+t+u)3−3(s+t+u)2+2(s+t+u)−3st(s+t+2u-2)
=(s+t+u)(s+t+u-1)(s+t+u-2)−3st(s+t+2u-2)
ここで、s+t+u=n-[n/6]、s+t+2u-2=2n-[n/3]-[n/2]-2だから、求める確率は、

1−{(n-[n/6])P3+3([n/3]-[n/6])([n/2]-[n/6])(2+[n/3]+[n/2]-2n)}/{n(n-1)(n-2)}
です。

以下、n=3〜100の表をつけておきます。
ns+t+us+t+2u-2確率
3321
4430.75
5550.5
6590.95
76110.742857142857143
87120.696428571428571
98130.797619047619048
109140.766666666666667
1110160.660606060606061
1210200.818181818181818
1311220.730769230769231
1412230.711538461538462
1513240.767032967032967
1614250.751785714285714
1715270.688235294117647
1815310.784313725490196
1916330.72858617131063
2017340.716666666666667
2118350.754887218045113
2219360.744805194805195
2320380.699604743083004
2420420.768774703557312
2521440.727826086956522
2622450.719230769230769
2723460.748376068376068
2824470.740842490842491
2925490.705801860974275
3025530.759852216748769
3126550.727474972191324
3227560.720766129032258
3328570.744318181818182
3429580.738302139037433
3530600.709702062643239
3630640.75406162464986
3731660.727284427284427
3832670.721787577050735
3933680.741547215231426
4034690.736538461538462
4135710.712382739212008
4235750.75
4336770.727169597277368
4437780.722515856236787
4538790.73953488372093
4639800.735243741765481
4740820.714338575393155
4840860.746993524514339
4941880.727095093356492
5042890.723061224489796
5143900.738007202881153
5244910.734253393665158
5345930.715828566549987
5445970.744678277697146
5546990.727044025157233
56471000.723484848484849
57481010.736807928913192
58491020.733471610059632
59501040.717001445753484
60501080.742840444184687
61511100.727007502083912
62521110.723823373876256
63531120.735841454508826
64541130.732838901689708
65551150.717948717948718
66551190.741346153846154
67561210.726980482204363
68571220.724100087796313
69581230.735045997633317
70591240.732316404822799
71601260.718729769923891
72601300.740107310529846
73611320.72695993311467
74621330.72433049487844
75631340.734379859311366
76641350.731877667140825
77651370.719384825700615
78651410.739063568010936
79661430.726943942133816
80671440.724525316455696
81681450.733813877168308
82691460.73150406504065
83701480.719942099019384
84701520.738172200999118
85711540.726931254429483
86721550.72469220246238
87731560.733327043728478
88741570.731182109790771
89751590.720421964707126
90751630.737402110997617
91761650.726921019055851
92771660.724836757445453
93781670.732903842300757
94791680.73090179344096
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100841790.730655534941249