条件付き確率について

数Bで扱われる分野です。なかなか分かりづらい人が多いと思うのですが、
裏を返せば実はとても簡単です。大きく分けて次の4パターンに別れます。

例題1 1個のさいころを2回振る。1回目に3が出た条件の下で、2回目に2が出る確率を求めよ。

本当、騙されやすいですよね。答は1/6です。
この場合は、1回目に何が出ても、2回目に特定の目が出る確率は同じですね。
条件付確率のポイントは「過去との現在の折り合い」です。

例題2 10枚のくじの中に3枚の当たりくじが入っている。
元に戻さずに2回引いたとき、
1枚目に当たりを引いた条件の下で2回目に当たりを引く確率を求めよ。

1回目に当たりを引いて元に戻さないのだから、2回目は残り9枚のうち2枚が当たりです。
1回目に当たりを引いたところが過去です。
これから2回目ですから、求める確率は2/9です。

2番と良く似ていますが、過去のことを全事象とする考え方を用いる問題もあります。

例題3 赤い玉が2個、青い玉が3個、白い玉が5個ある。
これらの10個の玉を袋に入れよくかきまぜ、その中から4個を取り出す。
取り出したものに同じ色の玉が2個あるごとに、これを1組としてまとめる。
まとめられた組に対して、赤は1組につき5点、青は1組につき3点、白は1組につき1点が与えられる。
このときの得点の合計をXとする。
Xが最小となる条件の下で、玉が3色取り出される確率を求めよ。
(2000年度大学センター試験の抜粋)

実際にはその前に誘導的な問題があるのでさらに奇麗に解けます(詳しくはこちらの下の方)が、ここでは直接求めてみます。

Xが最小となる、というところまでが過去ですから、こうなるような場合の数を考えます。
Xが1点になるのは、白が2個と、その他の玉(白を含む)が1個ずつとなる状態です。

1.白玉3個と他が1個
こうなるような場合の数は53×51=50通り、
2.白玉2個と赤、青が各1個
こうなるような場合の数は52×21×31=60通りです。
こうなる状態を「全事象」としなさい、という意味で、この1,2が分母、2だけが分子になります。
よって、60/(50+60)=6/11となります。いかがでしょうか?

例題4 区別のつかない2つの100円玉を投げたところ、一方が表であった。
他方は裏側である確率を求めよ。
(ピーター・フランクル著『頭の良くなる本』より)

「起こりうる全ての事象は、○○、○×、×○、××です。
××が消えた残りの3通りのうち一方が×ですから、求める確率は2/3です。」

−以下独り言−
本当にそうなのか???1/2じゃないのか???
ここで初めて公式登場。PA(B)=P(A∩B)/P(A)である。
A(B)とは、「Aが起こった条件のもとでBが起こる確率」である。
事象A∩Bは、一方が表で他方が裏であるから、P(A∩B)=2/4
事象Aは、「片方が表である」つまり、「少なくとも一方が表である事象」だから、P(A)=3/4
よって、求める条件付確率は2/3である。
これで少しは寝つきがよくなったような気がする。

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