二項定理の応用・証明

定理１
定理1.1	(ａ＋ｂ)nの展開式におけるａrｂn-rの係数はnＣr
定理1.2	定理１の両辺にa=1,b=1を代入すると、
定理1.3	定理１の両辺にa=1,b=xを代入すると、
定理1.4	さらに、定理1.3の両辺にx=-1を代入すると、

定理２	証明 この定理は以下のように拡張されます。
定理2.1	証明 白球６個、赤球３個から３個をとった時の確率を考えるとき，全事象9Ｃ3は、 白３赤０、白２赤１、白１赤２、白０赤３に場合分けすることができるので、 9Ｃ3＝6Ｃ3×3Ｃ0＋6Ｃ2×3Ｃ1＋6Ｃ1×3Ｃ2＋6Ｃ0×3Ｃ3 この公式が成り立つ理由は、上のようにも説明することが出来ます。
定理2.2	この公式で、特にｍ＝ｎ＝ｒのときは、次のようになります。 2nＣn＝nＣn×nＣ0＋nＣn-1×nＣ1＋nＣn-2×nＣ2＋…nＣn-k×nＣk＋…＋nＣ0×nＣn ここで、nＣn-k＝nＣkですから、 2nＣn＝(nＣ0)2＋(nＣ1)2＋…＋(nＣn)2となります。
定理2.3	証明
定理2.4	証明

二項定理と期待値

定理３	証明
定理3.1	証明
定理3.2 定理3.3	二項分布 定義　ある試行を行った結果事象Ａの起こる確率がｐであり， 試行をｎ回繰り返して事象Ａの起こる回数Ｘを確率分布で表したものを 二項分布といい，Ｂ（ｎ，ｐ）と表す． 二項分布の期待値，分散 確率変数Ｘが二項分布B(n,p)に従うとき，次の公式が成り立ちます． 期待値 Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ 分散Ｖ（Ｘ）＝ｎｐ（１−ｐ） 証明
定理3.4	定理２より、次のことも証明できます。 「白ｍ個，赤ｎ個の入った袋からｒ個を同時に取り出したとき，白の個数の期待値はｍr／（ｍ＋ｎ）」 証明　取り出したｒ個のうち白がｋ個あるとすると， 白の個数の期待値は，次のように計算できる．

二項定理と分数式

定理４	証明 定理３より、 定理1.4より、
定理4.1	証明 ここで、定理２より、 定理４より、

定理５	証明 定理２より、

二項定理と微分・積分

定理６	証明 定理1.3の両辺を微分すると、
定理７	証明 定理1.3の両辺を積分すると、