二項定理の応用・証明

二項定理の図形的な説明はこちら
定理1
定理1.1 (a+b)nの展開式におけるarn-rの係数はnr
定理1.2定理1の両辺にa=1,b=1を代入すると、
定理1.3定理1の両辺にa=1,b=xを代入すると、
定理1.4 さらに、定理1.3の両辺にx=-1を代入すると、

定理2
証明

この定理は以下のように拡張されます。
定理2.1
証明

白球6個、赤球3個から3個をとった時の確率を考えるとき,全事象93は、
白3赤0、白2赤1、白1赤2、白0赤3に場合分けすることができるので、
9363×3062×3161×3260×33
この公式が成り立つ理由は、上のようにも説明することが出来ます。

定理2.2 この公式で、特にm=n=rのときは、次のようになります。
2nnnn×n0nn-1×n1nn-2×n2+…nn-k×nk+…+n0×nn
ここで、nn-knkですから、
2nn=(n0)2+(n1)2+…+(nn)2となります。
定理2.3
証明
定理2.4
証明

二項定理と期待値

定理3
証明
定理3.1
証明
定理3.2
定理3.3

二項分布

定義 ある試行を行った結果事象Aの起こる確率がpであり,
試行をn回繰り返して事象Aの起こる回数Xを確率分布で表したものを
二項分布といい,B(n,p)と表す.

二項分布の期待値,分散

確率変数Xが二項分布B(n,p)に従うとき,次の公式が成り立ちます.

期待値 E(X)=np
分散V(X)=np(1−p)

証明

定理3.4定理2より、次のことも証明できます。
「白m個,赤n個の入った袋からr個を同時に取り出したとき,白の個数の期待値はmr/(m+n)」

証明 取り出したr個のうち白がk個あるとすると,
白の個数の期待値は,次のように計算できる.

二項定理と分数式

*この定理は2006年東京慈恵会医科大学で出題されました。
定理4
証明
定理3より、

定理1.4より、
定理4.1
証明

ここで、定理2より、

定理4より、

定理5
証明

定理2より、

二項定理と微分・積分

定理6
証明
定理1.3の両辺を微分すると、
定理7
証明
定理1.3の両辺を積分すると、
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